如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx﹣10经过点A(12,0)和B(a,﹣5),双曲线y=经过点B.(1)求...
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如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx﹣10经过点A(12,0)和B(a,﹣5),双曲线y=经过点B.
(1)求直线y=kx﹣10和双曲线y=的函数表达式;
(2)点C从点A出发,沿过点A与y轴平行的直线向下运动,速度为每秒1个单位长度,点C的运动时间为t(0<t<12),连接BC,作BD⊥BC交x轴于点D,连接CD,
①当点C在双曲线上时,t的值为 ;
②在0<t<6范围内,∠BCD的大小如果发生变化,求tan∠BCD的变化范围;如果不发生变化,求tan∠BCD的值.
③当DC=时,请直接写出t的值.
【回答】
(1)理由待定系数法即可解决问题;(2)①求出点C坐标即可解决问题;
②如图1中,设直线AB交y轴于M,则M(0,﹣10),A(12,0),取CD的中点K,连接AK、BK.*A、D、B、C四点共圆,可得∠DCB=∠DAB,推出tan∠DCB=tan∠DAB=,即可解决问题;
③分两种情形分别构建方程即可解决问题;
解:(1)∵直线y=kx﹣10经过点A(12,0)和B(a,﹣5),
∴12k﹣10=0,∴k=,∴y=x﹣10,
∴﹣5=a﹣10,∴a=6,∴B(6,﹣5),
∵双曲线y=经过点B,∴m=﹣30,∴双曲线解析式为y=﹣.
(2)①∵AC∥y轴,∴点C的横坐标为12,y=﹣=﹣,∴C(12,﹣),∴AC=,
∴点C在双曲线上时,t的值为.故*为.
②当0<t<6时,点D在线段OA上,∠BCD的大小不变.
理由:如图1中,设直线AB交y轴于M,则M(0,﹣10),A(12,0),取CD的中点K,连接AK、BK.
∵∠CBD=∠DAC=90°,DK=KC,∴BK=AK=CD=DK=KC,
∴A、D、B、C四点共圆,∴∠DCB=∠DAB,
∴tan∠DCB=tan∠DAB===.
③如图2中,当t<5时,作BM⊥OA于M,CN⊥BM于N.
则△CNB∽△BMD,∴=,∴=,∴DM=(5﹣t),∴AD=6+(5﹣t),
∵DC=,∴[6+(5﹣t)]2+t2=()2,
解得t=或(舍弃).
当t>5时,同法可得:[6﹣(t﹣5)]2+t2=()2,
解得t=或(舍弃),
综上所述,满足条件的t的值为t=或s.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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