如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线...
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如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣4)三点,点P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)是否存在点P,使△POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由;
(3)动点P运动到什么位置时,△PBC面积最大,求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.
【回答】
(1)y=x2﹣3x﹣4;(2)存在,P(,﹣2);(3)当P点坐标为(2,﹣6)时,△PBC的最大面积为8.
【详解】
试题分析:(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;(3)过P作PE⊥x轴,交x轴于点E,交直线BC于点F,用P点坐标可表示出PF的长,则可表示出△PBC的面积,利用二次函数的*质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标.
试题解析:(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;
(2)作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,如图1,
∴PO=PD,此时P点即为满足条件的点,∵C(0,﹣4),∴D(0,﹣2),∴P点纵坐标为﹣2,
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=,
∴存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣2);
(3)∵点P在抛物线上,∴可设P(t,t2﹣3t﹣4),
过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图2,
∵B(4,0),C(0,﹣4),∴直线BC解析式为y=x﹣4,∴F(t,t﹣4),
∴PF=(t﹣4)﹣(t2﹣3t﹣4)=﹣t2+4t,
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•(OE+BE)=PF•OB=(﹣t2+4t)×4=﹣2(t﹣2)2+8,∴当t=2时,S△PBC最大值为8,此时t2﹣3t﹣4=﹣6,
∴当P点坐标为(2,﹣6)时,△PBC的最大面积为8.
考点:二次函数综合题.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题
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