(2019·*苏中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点、,交轴于点,在轴上有一点,连接. (1)...
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(2019·*苏中考模拟)如图,在平面直角坐标系中,二次函数交轴于点、,交轴于点,在轴上有一点,连接.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点,求面积的最大值;
(3)抛物线对称轴上是否存在点,使为等腰三角形,若存在,请直接写出所有点的坐标,若不存在请说明理由.
【回答】
(1)二次函数的解析式为;(2)当时,的面积取得最大值;(3)点的坐标为,,.
【解析】
(1)∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A(﹣4,0)、B(2,0),C(0,6),
∴,
解得:,
所以二次函数的解析式为:y=;
(2)由A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求AE所在直线解析式为y=,
过点D作DN⊥x轴,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF,垂足为H,如图,
设D(m,),则点F(m,),
∴DF=﹣()=,
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×()
=,
∴当m=时,△ADE的面积取得最大值为.
(3)y=的对称轴为x=﹣1,设P(﹣1,n),又E(0,﹣2),A(﹣4,0),可求PA=,PE=,AE=,分三种情况讨论:
当PA=PE时,=,解得:n=1,此时P(﹣1,1);
当PA=AE时,=,解得:n=,此时点P坐标为(﹣1,);
当PE=AE时,=,解得:n=﹣2,此时点P坐标为:(﹣1,﹣2).
综上所述:P点的坐标为:(﹣1,1),(﹣1,),(﹣1,﹣2).
点睛:本题主要考查二次函数的综合问题,会求抛物线解析式,会运用二次函数分析三角形面积的最大值,会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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