如图，抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线...

问题详情：

如图，抛物线y=ax2+bx-5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为y=x+n． ①求抛物线的解析式． ②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值． ③过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

【回答】

解：①∵点B、C在直线为y=x+n上， ∴B（-n，0）、C（0，n）， ∵点A（1，0）在抛物线上， ∴， ∴a=-1，b=6， ∴抛物线解析式：y=-x2+6x-5； ②由题意，得， PB=4-t，BE=2t，由①知，∠OBC=45°， ∴点P到BC的高h为BPsin45°=（4-t）， ∴S△PBE=BE•h==，当t=2时，△PBE的面积最大，最大值为2； ③由①知，BC所在直线为：y=x-5， ∴点A到直线BC的距离d=2，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设N（m，-m2+6m-5），则H（m，0）、P（m，m-5），易*△PQN为等腰直角三角形，即NQ=PQ=2， ∴PN=4， Ⅰ．NH+HP=4， ∴-m2+6m-5-（m-5）=4 解得m1=1，m2=4， ∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴m=4； Ⅱ．NH+HP=4， ∴m-5-（-m2+6m-5）=4 解得m1=，m2=， ∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形， m＞5， ∴m=， Ⅲ．NH-HP=4， ∴-（-m2+6m-5）-[-（m-5）]=4，解得m1=，m2=， ∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形， m＜0， ∴m=，综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．【解析】

①点B、C在直线为y=x+n上，则B（-n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得a=-1，b=6，因此抛物线解析式：y=-x2+6x-5； ②先求出点P到BC的高h为BPsin45°=（4-t），于是S△PBE=BE•h==，当t=2时，△PBE的面积最大，最大值为2； ③由①知，BC所在直线为：y=x-5，所以点A到直线BC的距离d=2，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设N（m，-m2+6m-5），则H（m，0）、P（m，m-5），易*△PQN为等腰直角三角形，即NQ=PQ=2，PN=4，Ⅰ．NH+HP=4，所以-m2+6m-5-（m-5）=4解得m1=1（舍去），m2=4，Ⅱ．NH+HP=4，m-5-（-m2+6m-5）=4解得m1=，m2=（舍去），Ⅲ．NH-HP=4，-（-m2+6m-5）-[-（m-5）]=4，解得m1=（舍去），m2=．本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的*质、平行四边形的判定与*质是解题的关键．