如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（...

问题详情：

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．

（1）b＝　   　，c＝　   　，点B的坐标为　   　；（直接填写结果）

（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

【回答】

解：（1）∵将点A和点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．

∵令x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3．

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

故*为：﹣2；﹣3；（﹣1，0）．

（2）存在．

理由：如图所示：

①当∠ACP1＝90°．

由（1）可知点A的坐标为（3，0）．

设AC的解析式为y＝kx﹣3．

∵将点A的坐标代入得3k﹣3＝0，解得k＝1，

∴直线AC的解析式为y＝x﹣3．

∴直线CP1的解析式为y＝﹣x﹣3．

∵将y＝﹣x﹣3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝1，x2＝0（舍去），

∴点P1的坐标为（1，﹣4）．

②当∠P2AC＝90°时．

设AP2的解析式为y＝﹣x+b．

∵将x＝3，y＝0代入得：﹣3+b＝0，解得b＝3．

∴直线AP2的解析式为y＝﹣x+3．

∵将y＝﹣x+3与y＝x2﹣2x﹣3联立解得x1＝﹣2，x2＝3（舍去），

∴点P2的坐标为（﹣2，5）．

综上所述，P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）．

（3）如图2所示：连接OD．

由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．

根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．

由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC＝OA＝3，OD⊥AC，

∴D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴．

∴点P的纵坐标是．

∴，解得：．

∴当EF最短时，点P的坐标是：（，）或（，）．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题