如图11所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP∥C...
问题详情:
如图11所示,已知抛物线与轴交于A、B两点,与轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG轴
于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似.
若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
【回答】
解:(1)令,得 解得
令,得
∴ A B C ・・・・ (2分)
(2)∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB, ∴PAB=
过点P作PE轴于E,则APE为等腰直角三角形
令OE=,则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得,(不合题意,舍去) ∴PE=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 4分)
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE
=・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6分)
(3). 假设存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G, ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中,OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中,AE=PE= ∴AP= ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 7分)
设M点的横坐标为,则M
①点M在轴左侧时,则
() 当AMG PCA时,有=
∵AG=,MG=
即
解得(舍去) (舍去)
() 当MAG PCA时有=
即
解得:(舍去)
∴M ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (10分)
② 点M在轴右侧时,则
() 当AMG PCA时有=
∵AG=,MG=
∴
解得(舍去)
∴M
() 当MAGPCA时有=
即
解得:(舍去) ∴M
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为,, ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ (13分)
知识点:相似单元测试
题型:计算题
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