已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切.(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；(2)是否存在直线l，使l过点...

问题详情：

已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切.

(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；

(2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足·＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

【回答】

(1)如图，设M为动圆圆心，F(2,0)，过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为N，

由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x＝－2为准线，

所以动圆圆心轨迹C的方程为y2＝8x.

(2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－2)(k≠0)，

由，得y2－8ky＋16k＝0，

Δ＝(－8k)2－4×16k＞0，解得k＜0或k＞1.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8k，y1y2＝16k，

由·＝0，得x1x2＋y1y2＝0，

即k2(y1－2)(y2－2)＋y1y2＝0，

整理得：(k2＋1)y1y2－2k2(y1＋y2)＋4k2＝0，

代入得16k(k2＋1)－2k2·8k＋4k2＝0，

即16k＋4k2＝0，

解得k＝－4或k＝0(舍去)，

所以直线l存在，其方程为x＋4y－8＝0.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题