已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.(1)求直线l1的方程;(2)设圆O与...
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已知圆O的方程为x2+y2=1,直线l1过点A(3,0),且与圆O相切.
(1)求直线l1的方程;
(2)设圆O与x轴交于P,Q两点,M是圆O上异于P,Q的任意一点,过点A且与x轴垂直的直线为l2,直线PM交直线l2于点P′.直线QM交直线l2于点Q′.求*:以P′Q′为直径的圆C总过定点,并求出定点坐标.
【回答】
解析:(1)由题意可知,直线l的斜率显然存在.
因为直线l1过点A(3,0),所以设直线l1的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,则圆心O(0,0)到直线l1的距离为d==1,
解得k=±.
所以直线l1的方程为y=±(x-3),
即x+4y-3=0或x-4y-3=0.
(2)在圆O的方程x2+y2=1中,
令y=0得x=±1,
即P(-1,0),Q(1,0).又直线l2过点A与x轴垂直,
所以直线l2的方程为x=3,设M(s,t),则直线PM的方程为y=(x+1).
解方程组
得P′(3,).
同理可得Q′(3,).
以P′Q′为直径的圆C的方程为(x-3)·(x-3)+(y-)(y-)=0,
又s2+t2=1,
所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0,
若圆C经过定点,则y=0,
从而有x2-6x+1=0,
解得x=3±2,
所以圆C总经过的定点坐标为(3±2,0).
知识点:圆与方程
题型:解答题
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