已知圆心为C(-2,6)的圆经过点M(0,6-2).(1)求圆C的标准方程;(2)若直线l过点P(0,5)且被...
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已知圆心为C(-2,6)的圆经过点M(0,6-2).
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为4,求直线l的方程;
(3)是否存在斜率是1的直线l′,使得以l′被圆C所截得的弦EF为直径的圆经过原点?若存在,试求出直线l′的方程;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1)圆C的半径为|CM|==4,
∴圆C的标准方程为(x+2)2+(y-6)2=16.......................4分
(2)方法一 如图所示,设直线l与圆C交于A,B两点且D是AB的中点,则|AB|=4,|AD|=2且CD⊥AB.
∵圆C的半径为4,即|AC|=4,
∴在Rt△ACD中,可得|CD|==2,
即点C到直线l的距离为2.
(i)当所求直线l的斜率存在时,设所求直线的方程为y=kx+5,即kx-y+5=0.
由点到直线的距离公式得=2,
解得k=.
∴此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
(ii)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0.
将x=0代入(x+2)2+(y-6)2=16,得(y-6)2=16-4=12,y-6=±2,
∴y1=6+2,y2=6-2,|y1-y2|=4,
∴方程为x=0的直线也满足题意,
∴所求直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0.
方法二 当所求直线l的斜率存在时,设所求直线的方程为y=kx+5,即kx-y+5=0.
联立直线与圆C的方程
消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0,①
设方程①的两根为x1,x2,
由根与系数的关系得②
由弦长公式得|x1-x2|=
=4,③
将②式代入③,并解得k=,
此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,
仿方法一验算得方程为x=0的直线也满足题意.
∴所求直线l的方程为3x-4y+20=0或x=0
(3)方法一 假设存在直线l′满足题设条件,设l′的方程为y=x+m,则EF的中点N是两直线y=x+m与y-6=-(x+2)的交点,即N(,),
∴|CN|==.
∵以EF为直径的圆经过原点,∴OE⊥OF,
∴|EN|=|ON|=,
又∵CN⊥EF,|CE|2=|CN|2+|EN|2,
∴2+2+2=16,化简得m2-8m+24=0.
∵方程m2-8m+24=0没有实数解,
∴不存在满足题设条件的直线l′.
方法二 假设存在直线l′满足题设条件,并设l′的方程为y=x+m,点E(x3,y3),点F(x4,y4),联立直线与圆C的方程
消去y得2x2+2(m-4)x+m2-12m+24=0.
由根与系数的关系得④
∵以EF为直径的圆经过原点,∴OE⊥OF.
若E、F中有一点在y轴上,则另一点必在x轴上,而在圆C的方程中令y=0可得x无实数解,故本情况不会出现.
∴·=-1,即x3x4+y3y4=0,
∴x3x4+(x3+m)(x4+m)=0,
化简得2x3x4+(x3+x4)m+m2=0,
以④代入并化简得m2-8m+24=0.
∵方程m2-8m+24=0没有实数解,
∴不存在满足题设条件的直线l′
知识点:圆与方程
题型:解答题
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