.已知椭圆的离心率为,且经过点.求椭圆的标准方程;设为椭圆的中线,点,过点的动直线交椭圆于另一点,直线上的点满...
问题详情:
.已知椭圆的离心率为,且经过点.
求椭圆的标准方程;
设为椭圆的中线,点,过点的动直线交椭圆于另一点,直线上的点满足,求直线与的交点的轨迹方程.
【回答】
【解析】
【分析】
(1)利用椭圆C:的离心率为,且经过点M(2,0),可求椭圆的几何量,从而可求椭圆方程;
(2)直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理,求得B点坐标,结合求出C的坐标,写出BD、OC的直线方程,利用消参法求轨迹.
【详解】因为椭圆的离心率,且,所以.
又.故椭圆的标准方程为.
设直线的方程为(当存在时,由题意),代入,并整理得.
解得,于是,即.
设,则.
由已知得,得,解得,于是.
又,
由两点的坐标可得直线的方程为.
又由点坐标可得直线的方程为.
两式相乘,消去参数得.(如果只求出交点的坐标,此步不得分)
又当不存在时,四点重合,此时也满足题意.
故直线与的交点的轨迹方程.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查直线过定点,正确运用韦达定理是关键.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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