已知椭圆的离心率为,过顶点的直线与椭圆相交于两点.(1)求椭圆的方程;(2)若点在椭圆上且满足,求直线的斜率的...
问题详情:
已知椭圆的离心率为,过顶点的直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若点在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.
【回答】
解:(Ⅰ)因为e=,b=1,所以a=2,
故椭圆方程为..................................................... 4分
(Ⅱ)设l的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(m,n).
联立 ,解得 (1+4k2)x2+8kx=0, …………………………………………7分
因为直线l与椭圆C相交于两点,所以△=(8k)2>0,所以x1+x2=,x1×x2=0,
∵ ∴
点M在椭圆上,则m2+4n2=4,∴,化简得
x1x2+4y1y2= x1x2+4(kx1+1)(kx2+1)= (1+4k2)x1x2+4k(x1+x2)+4=0, …………………10分
∴4k·()+4=0,解得k=±.故直线l的斜率k=±.…………………12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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