已知椭圆的焦点是,,且,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于,两点.(i)求的最小值...
问题详情:
已知椭圆的焦点是,,且,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆右焦点的直线交椭圆于,两点.
(i)求的最小值;
(ii)点是直线上异于的一点,且满足,求*:点在一条定直线上.
【回答】
(1);(2)(i)最小值是;(ii)*见解析.
【分析】
(1)根据题中条件,求出,,即可得出椭圆方程;
(2)(i)先由(1)知,先讨论线的斜率不存在,求出;再讨论直线的斜率存在,设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,根据韦达定理,以及两点间距离公式,求出,进而可得出结果;
(ii)先由题意得,直线的斜率一定存在,所以设点的坐标是,根据题中条件,得到,化简整理,求出,即可*结论成立.
【详解】
(1)因为椭圆的焦点是,,且,所以半焦距.
因为离心率为,所以,所以.
所以椭圆的方程是.
(2)(i)由(1)知,
当直线的斜率不存在时,不妨设,所以.
当直线的斜率存在时,直线的方程可设为.
联立方程消去,整理得.
所以,.
所以,.
所以
,
因为,
所以的取值范围是.
因为当直线的斜率不存在时,,
所以的最小值是.
(ii)*:由题意得,直线的斜率一定存在.因为点在直线上,所以设点的坐标是.
因为,
所以点一定在的延长线上,
所以,
即.
所以.
化简得.所以点的坐标是.
因此点在定直线上.
【点睛】
本题主要考查求椭圆的方程,考查椭圆中的定值问题,熟记椭圆的标准方程,以及椭圆的简单*质即可,属于常考题型.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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