已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的动直线与椭...
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已知点,椭圆的离心率为,是椭圆的右焦点,直线的斜率为,为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点的动直线与椭圆相交于两点.当△的面积最大时,求直线的方程.
【回答】
解: (1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1. …… 4分
(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,
|PQ|=|x1-x2|=.
点O到直线PQ的距离d=.
所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.
所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2. …… 12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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