已知圆F的圆心坐标为(1,0),且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为.(1)求圆F的方程;(2)若动圆M与圆F相...
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已知圆F的圆心坐标为(1,0),且被直线x+y﹣2=0截得的弦长为.
(1)求圆F的方程;
(2)若动圆M与圆F相外切,又与y轴相切,求动圆圆心M的轨迹方程;
(3)直线L与圆心M轨迹位于y轴右侧的部分相交于A、B两点,且•=﹣4,试问直线L 是否过一定点,若过则求出该定点.
【回答】
解:(1)设圆F的方程为(x﹣1)2+y2=r2,r>0,
由圆心到直线x+y﹣2=0的距离为d==,
由弦长公式可得=2,解得r=1,
可得圆F的方程为(x﹣1)2+y2=1;
(2)设M的坐标为(x,y),由动圆M与圆F相外切,又与y轴相切,
可得M到点F的距离比它到y轴的距离大1,
即为M到点F的距离比它到直线x=﹣1的距离相等,
由抛物线的定义,可得动圆圆心M的轨迹方程为y2=4x;
(3)*:设l:x=ty+b代入抛物线y2=4x,消去x得
y2﹣4ty﹣4b=0设A(x1,y1),B(x2,y2)
则y1+y2=4t,y1y2=﹣4b,
∴•=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=﹣4bt2+4bt2+b2﹣4b=b2﹣4b
令b2﹣4b=﹣4,∴b2﹣4b+4=0∴b=2.
∴直线l过定点(2,0).
知识点:圆与方程
题型:解答题
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