如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(,0),B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,且OB=3O...
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如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(,0),B两点(点B在点A的左侧),与y轴交于点C,且OB=3OA=OC,∠OAC的平分线AD交y轴于点D,过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E,点P是x轴下方抛物线上的一个动点,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,交直线AD于点H.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设点P的横坐标为m,当FH=HP时,求m的值;
(3)当直线PF为抛物线的对称轴时,以点H为圆心,HC为半径作⊙H,点Q为⊙H上的一个动点,求AQ+EQ的最小值.
【回答】
解:(1)由题意A(,0),B(﹣3,0),C(0,﹣3),
设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣),
把C(0,﹣3)代入得到a=,
∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣3.
(2)在Rt△AOC中,tan∠OAC==,
∴∠OAC=60°,
∵AD平分∠OAC,
∴∠OAD=30°,
∴OD=OA•tan30°=1,
∴D(0,﹣1),
∴直线AD的解析式为y=x﹣1,
由题意P(m,m2+m﹣3),H(m,m﹣1),F(m,0),
∵FH=PH,
∴1﹣m=m﹣1﹣(m2+m﹣3)
解得m=﹣或(舍弃),
∴当FH=HP时,m的值为﹣.
(3)如图,∵PF是对称轴,
∴F(﹣,0),H(﹣,﹣2),
∵AH⊥AE,
∴∠EAO=60°,
∴EO=OA=3,
∴E(0,3),
∵C(0,﹣3),
∴HC==2,AH=2FH=4,
∴QH=CH=1,
在HA上取一点K,使得HK=,此时K(﹣,﹣),
∵HQ2=1,HK•HA=1,
∴HQ2=HK•HA,可得△QHK∽△AHQ,
∴==,
∴KQ=AQ,
∴AQ+QE=KQ+EQ,
∴当E、Q、K共线时,AQ+QE的值最小,最小值==.
知识点:各地中考
题型:解答题
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