如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求*：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4...

问题详情：

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；

（1）求*：△ABE∽△ECD；

（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；

（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．

【回答】

【解答】（1）*：∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠B=∠C=90°，∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥DE，

∴∠AED=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠DEC=∠BAE，

∴△ABE∽△ECD；

（2）解：Rt△ABE中，∵AB=4，AE=5，

∴BE=3，

∵BC=5，

∴EC=5﹣3=2，

由（1）得：△ABE∽△ECD，

∴，

∴，

∴CD=；

（3）解：线段AD、AB、CD之间数量关系：AD=AB+CD；

理由是：过E作EF⊥AD于F，

∵△AED∽△ECD，

∴∠EAD=∠DEC，

∵∠AED=∠C，

∴∠ADE=∠EDC，

∵DC⊥BC，

∴EF=EC，

∵DE=DE，

∴Rt△DFE≌Rt△DCE（HL），

∴DF=DC，

同理可得：△ABE≌△AFD，

∴AF=AB，

∴AD=AF+DF=AB+CD．

知识点：相似三角形

题型：解答题