设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f...

问题详情：

设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.

【回答】

解:法一　设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0;           ①

又因为|x1-x2|==2,

所以b2-4ac=8a2;                     ②

又由已知得c=1.                     ③

由①②③解得b=2,a=,c=1,

所以f(x)=x2+2x+1.

法二　因为f(x-2)=f(-x-2),

故y=f(x)的图象有对称轴x=-2,可设y=a(x+2)2+k,

当x=0时,y=4a+k=1.

y=0时,a(x+2)2+k=0,即ax2+4ax+4a+k=0.

得ax2+4ax+1=0,x1+x2=-4,x1·x2=,

|x1-x2|===2.

a=,k=-1.

所以f(x)=(x+2)2-1,即f(x)=x2+2x+1.

法三　因为y=f(x)的图象有对称轴x=-2,

又|x1-x2|=2,

所以y=f(x)的图象与x轴的交点为(-2-,0),(-2+,0).故可设f(x)=a(x+2+)(x+2-).

因为f(0)=1,所以a=.

所以f(x)=[(x+2)2-2]=x2+2x+1.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题