偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求...
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偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.
【回答】
【解析】因为f(x)的图象过点P(0,1),
所以e=1.
又因为f(x)为偶函数,
所以f(-x)=f(x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.
所以b=0,d=0.
所以f(x)=ax4+cx2+1.
因为函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,
所以可得切点为(1,-1),
所以a+c+1=-1. ①
因为f′(1)=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c,
所以4a+2c=1. ②
由①②联立得a=,c=-,
所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=x4-x2+1.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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