阅读下面材料：小明遇到这样两个问题：（1）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为D，BC...

问题详情：

阅读下面材料：

小明遇到这样两个问题：

（1）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为D，BC=﹣6，求OD的长；

（2）如图2△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．

对于问题（1），小明发现根据垂径定理，可以得出点D是AC的中点，利用三角形中位线定理可以解决；对于问题（2），小明发现延长AD到E，使DE=AD，连接BE，可以得到全等三角形，通过计算可以解决．

请回答：

问题（1）中OD长为　   　；问题（2）中AD的取值范围是　   　；

参考小明思考问题的方法，解决下面的问题：

（3）如图3，△ABC中，∠BAC=90°，点D、E分别在AB、AC上，BE与CD相交于点F，AC=mEC，AB=2EC，AD=nDB．

①当n=1时，如图4，在图中找出与CE相等的线段，并加以*；

②直接写出的值（用含m、n的代数式表示）．

【回答】

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）由三角形中位线定理可得OD=BC，由此即可解决问题；

（2）如图2中，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，CM．在△ABM中，理由三边关系定理可得6﹣4＜AM＜6+4，即2＜2AD＜10，1＜AD＜5；

（3）①结论：EF=CE．如图4中，延长CD到M使得DM=CD，连接BM．由△ADC≌△BDM，推出BM=AC，∠M=∠ACD，由BM∥AC，推出△CEF∽△MBF，

可得=，推出==，推出BF=mEF，推出BE=（m+1）EF，在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，推出（m+1）EC=（m+1）EF，由此即可*；

结论： =．如图3中，作BM∥AC交CD的延长线于M．*方法类似①；

【解答】解：（1）如图1中，

∵OD⊥AC，

∴AD=DC，

∵AO=OB，BC=6，

∴OD=BC=3．

（2）如图2中，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，CM．

∵AD=DM，BD=CD，

∴四边形ABMC是平行四边形，

∴BM=AC=4，∵AB=6，

∴6﹣4＜AM＜6+4，

即2＜2AD＜10，

∴1＜AD＜5．

（3）①结论：EF=CE．

理由：如图4中，延长CD到M使得DM=CD，连接BM．

∵AD=DB，∠ADC=∠BDM，

∴△ADC≌△BDM，

∴BM=AC，∠M=∠ACD，

∴BM∥AC，

∴△CEF∽△MBF，

∴=，

∴==，

∴BF=mEF，

∴BE=（m+1）EF，

在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，

∴（m+1）EC=（m+1）EF，

∴EF=CE．

②结论： =．

理由：如图3中，作BM∥AC交CD的延长线于M．

由△ADC∽△BDM，可得==n，

∴BM=，

∵=，

∴=，

∵AC=mEC，

∴BF=EF，

∴BE=（1+）EF，

在Rt△BAE中，BE===（m+1）EC，

∴（m+1）EC=（1+）EF，

∴=．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：综合题