阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且∠BAC=2∠DCB...
问题详情:
阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB上,且∠BAC=2∠DCB,求*:AC=AD.
小明发现,除了直接用角度计算的方法外,还可以用下面两种方法:
方法1:如图2,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.
方法2:如图3,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.
(1)根据阅读材料,任选一种方法,*AC=AD.
用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:
(2)如图4,△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,且∠BDE=2∠ABC,点F在BD上,且∠AFE=∠BAC,延长DC、FE,相交于点G,且∠DGF=∠BDE.
①在图中找出与∠DEF相等的角,并加以*;
②若AB=kDF,猜想线段DE与DB的数量关系,并*你的猜想.
【回答】
解:(1)方法一:如图2中,作AE平分∠CAB,与CD相交于点E.
∵∠CAE=∠DAE,∠CAB=2∠DCB,∴∠CAE=∠CDB.
∵∠CDB+∠ACD=90°,∴∠CAE+∠ACD=90°,∴∠AEC=90°.
∵AE=AE,∠AEC=∠AED=90°,∴△AEC≌△AED,∴AC=AD.
方法二:如图3中,作∠DCF=∠DCB,与AB相交于点F.
∵∠DCF=∠DCB,∠A=2∠DCB,∴∠A=∠BCF.
∵∠BCF+∠ACF=90°,∴∠A+∠ACF=90°,∴∠AFC=90°.
∵∠ACF+∠BCF=90°,∠BCF+∠B=90°,∴∠ACF=∠B.
∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD,∴AC=AD.
(2)①如图4中,结论:∠DEF=∠FDG.
理由:在△DEF中,∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°.在△DFG中,∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°.
∵∠EFD=∠GFD,∠G=∠EDF,∴∠DEF=∠FDG.
②结论:BD=k•DE.
理由:如图4中,如图延长AC到K,使得∠CBK=∠ABC.
∵∠ABK=2∠ABC,∠EDF=2∠ABC,∴∠EDF=∠ABK.
∵∠DFE=∠A,∴△DFE∽△BAK,∴ ==,∴BK=k•DE,∴∠AKB=∠DEF=∠FDG.
∵BC=BC,∠CBD=∠CBK,∴△BCD≌△BCK,∴BD=BK,∴BD=k•DE
知识点:各地中考
题型:解答题
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