已知:如图,在△OAB中,OA=OB,⊙O经过AB的中点C,与OB交于点D,且与BO的延长线交于点E,连接EC...
问题详情:
已知:如图,在△OAB中,OA=OB,⊙O经过AB的中点C,与OB交于点D,且与BO的延长线交于点E,连接EC,CD.
(1)试判断AB与⊙O的位置关系,并加以*;
(2)若tanE=,⊙O的半径为3,求OA的长.
【回答】
(1)AB与⊙O的位置关系是相切,*见解析;(2)OA=5.
【分析】
(1)先判断AB与⊙O的位置关系,然后根据等腰三角形的*质即可解答本题;
(2)根据题三角形的相似可以求得BD的长,从而可以得到OA的长.
【详解】
解:(1)AB与⊙O的位置关系是相切,
*:如图,连接OC.
∵OA=OB,C为AB的中点,
∴OC⊥AB.
∴AB是⊙O的切线;
(2)∵ED是直径,
∴∠ECD=90°.
∴∠E+∠ODC=90°.
又∵∠BCD+∠OCD=90°,∠OCD=∠ODC,
∴∠BCD=∠E.
又∵∠CBD=∠EBC,
∴△BCD∽△BEC.
∴.
∴BC2=BD•BE.
∵,
∴.
∴.
设BD=x,则BC=2x.
又BC2=BD•BE,
∴(2x)2=x(x+6).
解得x1=0,x2=2.
∵BD=x>0,
∴BD=2.
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5.
【点睛】
本题考查直线和圆的位置关系、等腰三角形的*质、三角形的相似,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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