如图,在△ABC中.,点O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与AB相切于点D,AE丄BO交BO的延长...
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如图,在△ABC中.,点O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径的⊙O与AB相切于点D,AE丄BO交BO的延长线于点E.
(1)求*:;
(2)若BC=12,,求⊙O的半径和AE的长.
【回答】
*:(1)如答图,连接OD.
∵⊙O与AB相切于点D ,
∴AB⊥OD. ………………………………………………… 1分
∵∠C=90°,
∴BC⊥OC.
又OC=OD,
∴BO为∠ABC的平分线.
∴∠ABE=∠OBC. …………………………………………… 2分
∵AE⊥BO于点E,
∴∠E=90°.
∴∠BAE+∠ABE=90°,∠AOE+∠OAE=90°.
∵∠C=90°,
∴∠BOC+∠OBC=90°.
又∠AOE =∠BOC.
∴∠OBC=∠OAE.
∴∠ABE=∠OAE. ……………………………………………… 3分
∵∠BAE+∠ABE=90°,∠AOE+∠OAE=90°.
∴∠AOE=∠BAE. …………………………………………… 4分
(2)∵∠ABC+∠BAC=90°,∠DOA+∠BAC=90°,
∴∠DOA=∠ABC,
∵ ,BC=12,
∴. …………………………………… 5分
∴
∴.
∴
∴OD=6. ………………………………………………………… 6分
∵BC=12,OC=OD=6.
∴ …………… 7分
∵BC=12,OC=OD=6,AC=16,
∴AO=10.
∵∠AOE=∠BOC,∠E=∠C=90°,
∴△AOE∽△BOC. ……………………………………… 8分
∴.即 .
∴. ………………………………………… 9分
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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