如图，O为正方形ABCD对角线AC上的一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．（1）求*：CD与...

问题详情：

如图，O为正方形ABCD对角线AC上的一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．

（1）求*：CD与⊙O相切；

（2）若⊙O的半径为1，求正方形ABCD的边长．

【回答】

．（1）*：过O作ON⊥CD于N，连接OM，………………………………………  1分

∵⊙O与BC相切于点M，

∴OM⊥BC，

∵AC为正方形ABCD对角线，

∴∠BAC=∠ACB=45°，   …………………………………………………………………………………………………  2分

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B=90°，AB∥CD

∴AB∥OM∥DC，

∴∠NOC=∠NCO=∠MOC=∠MCO=45°，   

且OC为公共边，

易知△OMC≌△ONC（SAS）    …………………………………………………………………………  3分

∴ON=OM，且ON⊥CD

∴CD与⊙O相切；            …………………………………………………………………………………………………  4分

（2）解：由（1）易知△MOC为等腰直角三角形，OM为半径，

∴，

∴，

∴, ………………………………………………………………………………………………  5分

∴，…………………………………………………………………  6分

在Rt△ABC中，，，

∴，           ………………………………………………………………………………………  7分

∴．

故正方形ABCD的边长为．…………………………………………………………………………………  9分

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题