如图，C在以AB为直径的半圆⊙O上，I是△ABC的内心，AI，BI的延长线分别交半圆⊙O于点D，E，AB=6，...

问题详情：

如图，C在以AB为直径的半圆⊙O上，I是△ABC的内心，AI，BI 的延长线分别交半圆⊙O于点D，E，AB=6，则DE的长为（　　）

A．3    B．3 C．3 D．5

【回答】

B【考点】三角形的内切圆与内心；圆周角定理．

【分析】连结OD、OE．根据三角形内心的*质得出∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．由圆周角定理得出∠C=90°，∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，进而得出∠DOB+∠AOE=90°，利用平角的定义得出∠DOE=90°，又OD=OE=AB=3，然后根据勾股定理即可求出DE．

【解答】解：如图，连结OD、OE．

∵I是△ABC的内心，

∴∠CAB=2∠DAB，∠ABC=2∠ABE．

∵C在以AB为直径的半圆⊙O上，

∴∠C=90°，

∴∠CAB+∠ABC=90°，

∴2∠DAB+2∠ABE=90°，

∵∠DOB=2∠DAB，∠AOE=2∠ABE，

∴∠DOB+∠AOE=90°，

∴∠DOE=180°﹣（∠DOB+∠AOE）=90°，

∵OD=OE=AB=3，

∴DE==3．

故选B．

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理，平角的定义以及勾股定理．作出辅助线*∠DOE=90°是解题的关键．

知识点：圆的有关*质

题型：选择题