已知抛物线的焦点为,准线为,若点在抛物线上,点在直线上,且是周长为的等边三角形.(1)求抛物线的标准方程;(2...
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已知抛物线的焦点为,准线为,若点在抛物线上,点在直线上,且是周长为的等边三角形.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过点的直线与抛物线交于,两点,抛物线在点处的切线与直线交于点,求的面积的最小值.
【回答】
【*】(1);(2).
【解析】(1)因为是周长为的等边三角形,所以,(1分)
由抛物线的定义可得,设准线与轴交于点,
则,从而,(3分)
在中,,即,
所以抛物线的标准方程为.(5分)
(2)由题可知直线的斜率存在,设直线的方程为,
将代入,消去可得.
设,,则,,(6分)
所以,
设过点的切线方程为,
将代入,消去可得,
又,所以,即,
所以,解得,
所以过点的切线方程为,即,(8分)
令,可得,则,所以,
所以点到直线的距离,(10分)
所以,当且仅当时,等号成立,
所以的面积的最小值为.(12分)
知识点:坐标系与参数方程
题型:解答题
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