已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲...

问题详情：

已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(    )

A．                  B．                  C．                 D．

【回答】

B

【解析】

过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，

∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN|  ∴，

设PA的倾斜角为，则，

当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，

设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，

∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，  ∴P（2，1），

∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．

故选B．

点睛：本题的关键是探究m的最大值，先利用抛物线的定义转化得到，m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，得到△=0，得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想，在解题过程中要注意灵活运用.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：选择题