如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，...

问题详情：

如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：

①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；

②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；

③若y2＞y1，则x2＞4；

④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和

其中正确结论的个数是（　　）

A．1                           B．2                           C．3                           D．4

【回答】

B

【分析】

利用交点式写出抛物线解析式为y=ax2﹣2ax﹣3a，配成顶点式得y=a（x﹣1）2﹣4a，则可对①进行判断；计算x=4时，y= a×5×1=5a，则根据二次函数的*质可对②进行判断；利用对称*和二次函数的*质可对③进行判断；由于b=﹣2a，c=﹣3a，则方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可对④进行判断．

【详解】

由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0），

可得抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∵y=a（x﹣1）2﹣4a，

∴当x=1时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确；

当x=4时，y=a×5×1=5a，

∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误；

∵点C（4，5a）关于直线x=1的对称点为（﹣2，5a），

∴当y2＞y1，则x2＞4或x＜﹣2，所以③错误；

∵b=﹣2a，c=﹣3a，

∴方程cx2+bx+a=0化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，

整理得3x2+2x﹣1=0，解得x1=﹣1，x2=，所以④正确，

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与*质，待定系数法、二次函数与一元二次方程等，综合*较强，熟练掌握待定系数法以及二次函数的相关知识是解题的关键.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：选择题