如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8...

问题详情：

如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点坐标是（8，6）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；

（3）二次函数的对称轴上是否存在一点C，使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐标；若C点不存在，请说明理由．

【回答】

【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的*质；待定系数法求二次函数解析式；线段的*质：两点之间线段最短．

【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式；

（2）只需运用*法就可求出抛物线的顶点坐标，只需令y=0就可求出点D的坐标；

（3）连接CA，由于BD是定值，使得△CBD的周长最小，只需CD+CB最小，根据抛物线是轴对称图形可得CA=CD，只需CA+CB最小，根据“两点之间，线段最短”可得：当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，只需用待定系数法求出直线AB的解析式，就可得到点C的坐标．

【解答】解：（1）把A（2，0），B（8，6）代入y=x2+bx+c，得

，

解得：，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣4x+6；

（2）由y=x2﹣4x+6=（x﹣4）2﹣2，得

二次函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）．

令y=0，得x2﹣4x+6=0，

解得：x1=2，x2=6，

∴D点的坐标为（6，0）；

（3）二次函数的对称轴上存在一点C，使得△CBD的周长最小．

连接CA，如图，

∵点C在二次函数的对称轴x=4上，

∴xC=4，CA=CD，

∴△CBD的周长=CD+CB+BD=CA+CB+BD，

根据“两点之间，线段最短”，可得

当点A、C、B三点共线时，CA+CB最小，

此时，由于BD是定值，因此△CBD的周长最小．

设直线AB的解析式为y=mx+n，

把A（2，0）、B（8，6）代入y=mx+n，得

，

解得：，

∴直线AB的解析式为y=x﹣2．

当x=4时，y=4﹣2=2，

∴当二次函数的对称轴上点C的坐标为（4，2）时，△CBD的周长最小．

【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、抛物线是轴对称图形、抛物线上点的坐标特征、两点之间线段最短、解一元二次方程等知识，在解决问题的过程中，用到了*法、待定系数法等重要的数学方法，而运用“两点之间线段最短”则是解决第3小题的关键．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题