如图,已知二次函数y=x2+(1﹣m)x﹣m(其中0<m<1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),...
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如图,已知二次函数y=x2+(1﹣m)x﹣m(其中0<m<1)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴为直线l.设P为对称轴l上的点,连接PA、PC,PA=PC
(1)∠ABC的度数为 ;
(2)求P点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在坐标轴上是否存在着点Q(与原点O不重合),使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似,且线段PQ的长度最小?如果存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)令x=0,则y=﹣m,C点坐标为:(0,﹣m)
令y=0,则x2+(1﹣m)x﹣m=0,
解得:x1=﹣1,x2=m,
∵0<m<1,点A在点B的左侧,
∴B点坐标为:(m,0),
∴OB=OC=m,
∵∠BOC=90°,
∴△BOC是等腰直角三角形,∠ABC=45°;
故*为:45°;
(2)如图1,作PD⊥y轴,垂足为D,设l与x轴交于点E,
由题意得,抛物线的对称轴为:x=,
设点P坐标为:(,n),
∵PA=PC,
∴PA2=PC2,
即AE2+PE2=CD2+PD2,
∴(+1)2+n2=(n+m)2+()2,
解得:n=,
∴P点的坐标为:(,);
(3)存在点Q满足题意,
∵P点的坐标为:(,),
∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2,
=(+1)2+()2+(+m)2+()2
=1+m2,
∵AC2=1+m2,
∴PA2+PC2=AC2,
∴∠APC=90°,
∴△PAC是等腰直角三角形,
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似,
∴△QBC是等腰直角三角形,
∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为:(﹣m,0)或(0,m),
①如图1,当Q点坐标为:(﹣m,0)时,
若PQ与x轴垂直,则=﹣m,
解得:m=,PQ=,
若PQ与x轴不垂直,
则PQ2=PE2+EQ2
=()2+(+m)2
=m2﹣2m+
=(m﹣)2+
∵0<m<1,
∴当m=时,PQ2取得最小值,PQ取得最小值,
∵<,
∴当m=,即Q点的坐标为:(﹣,0)时,PQ的长度最小,
②如图2,当Q点的坐标为:(0,m)时,
若PQ与y轴垂直,则=m,
解得:m=,PQ=,
若PQ与y轴不垂直,
则PQ2=PD2+DQ2=()2+(m﹣)2
=m2﹣2m+
=(m﹣)2+,
∵0<m<1,
∴当m=时,PQ2取得最小值,PQ取得最小值,
∵<,
∴当m=,即Q点的坐标为:(0,)时,PQ的长度最小,
综上所述:当Q点坐标为:(﹣,0)或(0,)时,PQ的长度最小.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
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