已知:二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B,A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,平...
问题详情:
已知:二次函数y=ax2﹣2x+c的图象与x于A、B,A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴是直线x=1,平移一个单位后经过坐标原点O
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)直线交y轴于D点,E为抛物线顶点.若∠DBC=α,∠CBE=β,求α﹣β的值;
(3)在(2)问的前提下,P为抛物线对称轴上一点,且满足PA=PC,在y轴右侧的抛物线上是否存在点M,使得△BDM的面积等于PA2?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)由题意,A(﹣1,0),
∵对称轴是直线x=1,
∴B(3,0);(1分)
把A(﹣1,0),B(3,0)分别代入y=ax2﹣2x+c
得;(2分)
解得.
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3.
(2)∵直线与y轴交于D(0,1),
∴OD=1,
由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4得E(1,﹣4);
连接CE,过E作EF⊥y轴于F(如图1),则EF=1,
∴OC=OB=3,CF=1=EF,
∴∠OBC=∠OCB=∠45°,
BC==,
;
∴∠BCE=90°=∠BOD,,
,
∴,
∴△BOD∽△BCE,(6分)
∴∠CBE=∠DBO,
∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°.(7分)
(3)设P(1,n),
∵PA=PC,
∴PA2=PC2,即(1+1)2+(n﹣0)2=(1+0)2+(n+3)2
解得n=﹣1,
∴PA2=(1+1)2+(﹣1﹣0)2=5,
∴S△EDW=PA2=5;(8分)
法一:设存在符合条件的点M(m,m2﹣2m﹣3),则m>0,
①当M在直线BD上侧时,连接OM(如图1),
则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5,
即,
,
整理,得3m2﹣5m﹣22=0,
解得m1=﹣2(舍去),,
把代入y=m2﹣2m﹣3得;
∴;(10分)
②当M在直线BD下侧时,不妨叫M1,连接OM1(如图1),
则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5,
即,
,
整理,得3m2﹣5m﹣2=0,
解得,(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,
∴M1(2,﹣3);
综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,﹣3).(12分)
法二:设存在符合条件的点M(m,m2﹣2m﹣3),则m>0,
①当M在直线BD上侧时,过M作MG∥y轴,
交DB于G;(如图2)
设D、B到MG距离分别为h1,h2,则
S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5,
即,
,
,
整理,得3m2﹣5m﹣22=0;
解得m1=﹣2(舍去),;
把代入y=m2﹣2m﹣3
得;
∴.(10分)
②当M在直线BD下侧时,不妨叫M1,过M1作M1G1∥y轴,交DB于G1(如图2)
设D、B到M1G1距离分别为h1、h2,则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5,
即,
,
,
整理,得3m2﹣5m﹣2=0,
解得,(舍去)
把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3,
∴M1(2,﹣3);
综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,﹣3).(12分)
法三:①当M在直线BD上侧时,过M作MH∥BD,交y轴于H,连接BH;(如图3)
则S△DHB=S△BDM=5,
即,,
∴DH=,
∴;
∴直线MH解析式为;
联立
得或;
∵M在y轴右侧,
∴M坐标为.(10分)
②当M在直线BD下侧时,不妨叫M1,过M1作M1H1∥BD,交y轴于H1,
连接BH1(如图3),同理可得,
∴,
∴直线M1H1解析式为,
联立
得或;
∵M1在y轴右侧,
∴M1坐标为(2,﹣3)
综上所述,存在符合条件的点M,其坐标为或(2,﹣3).(12分)
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题
-
下列句子中没有运用拟人修辞手法的一项是( ) A.我们的春雁每天都要去玉米地作一次旅行,但绝不是偷偷摸摸进行的...
问题详情:下列句子中没有运用拟人修辞手法的一项是( ) A.我们的春雁每天都要去玉米地作一次旅行,但绝不是偷偷摸摸进行的。B.每次出发前,都有一场高声而有趣的辩论,而每次返回之前的争论则更为响亮。C.3月的大雁则不同。尽管它们在冬天的大部分时间里都可能受到*击,但...
-
予独爱莲之 , 。(周敦颐《爱莲说》)
问题详情:予独爱莲之 , 。(周敦颐《爱莲说》)【回答】出淤泥而不染,濯清涟而不妖知识点:作家作品题型:填空题...
-
下列关于名著的表述,不正确的一项是 ( )A.贾政望...
问题详情: 下列关于名著的表述,不正确的一项是 ()A.贾政望子成龙,宝玉却无心仕途经济。平时宝玉在外私结伶人,与母婢金钏又有说不清的嫌疑,会见冷子兴时的无精打采,终于使贾政大为失望,于是对宝玉大打出手。(...
-
已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=( )A、-4 B、-...
问题详情:已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=( )A、-4 B、-3 C、-2 D、-1【回答】D知识点:计数原理题型:选择题...
相关文章
- 如图,二次函数y=-x2+bx的图像与x轴负半轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于...
- 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,...
- 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴正半轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,对称轴为直线...
- 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴正半轴交于点C,它的对称轴为直线...
- 如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点,与y轴交于点C,对称轴为直线x=﹣1...
- 已知:二次函数y=-x2-2x+M的图象与x轴交于点A(1,0)、B,与y轴交于点C.(1)求M的值;(2)...
- 如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为...
- 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C对称轴为直线x=1.直线y...
- 如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线...
- 如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1...