（2019·*苏中考模拟）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，...

问题详情：

（2019·*苏中考模拟）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；

（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

【回答】

（1）y=﹣x2+2x+3（2）（，）（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为

【解析】

（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得

二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，

如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），

∴

∴点P的纵坐标，

当时，即

解得（不合题意，舍），

∴点P的坐标为

（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），

设直线BC的解析式为y=kx+b，

将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得

直线BC的解析为y=﹣x+3，

设点Q的坐标为（m，﹣m+3），

PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．

当y=0时，﹣x2+2x+3=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

OA=1，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ

当m=时，四边形ABPC的面积最大．

当m=时，，即P点的坐标为

当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．

【点睛】

本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的*质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的*质．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题