[2012·天津卷]如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,...
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[2012·天津卷] 如图1-4,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.
(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;
(2)*平面PDC⊥平面ABCD;
(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.
图1-4
【回答】
解:(1)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC且AD∥BC,又因为AD⊥PD,故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角.
在Rt△PDA中,tan∠PAD==2.
所以,异面直线PA与BC所成角的正切值为2.
(2)*:由于底面ABCD是矩形,故AD⊥CD,又由于AD⊥PD,CD∩PD=D,因此AD⊥平面PDC,而AD⊂平面ABCD,所以平面PDC⊥平面ABCD.
(3)在平面PDC内,过点P作PE⊥CD交直线CD于点E,连接EB.
由于平面PDC⊥平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE⊥平面ABCD.由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角.
在△PDC中,由于PD=CD=2,PC=2,可得∠PCD=30°.
在Rt△PEC中,PE=PCsin30°=.
由AD∥BC,AD⊥平面PDC,得BC⊥平面PDC,因此BC⊥PC.
在Rt△PCB中,PB==.
在Rt△PEB中,sin∠PBE==.
所以直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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