如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90...

问题详情：

如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，

BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

（1）*：CD⊥平面PAE；

（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

【回答】

【解析】（1）*：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，

得AC＝5．又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE．

∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．

（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF．

由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为，，所以PA＝BF．

由∠DAB＝∠ABC＝90°，知AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3．于是AG＝2．在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以， ．于是PA＝BF＝．

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，

所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题