如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°...

问题详情：

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，

∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点.

(1)*：CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，

求四棱锥P－ABCD的体积.

【回答】

解：方法一　(1)*　如图，连接AC.由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°

得AC＝5.[1分]又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE. [2分]

因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD. [4分]

而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. [5分]

(2)过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF.

由(1)CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE.

于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE.  [6分]

由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.     [7分]

由题意得∠PBA＝∠BPF，

因为sin∠PBA＝，sin∠BPF＝，所以PA＝BF.

由∠DAB＝∠ABC＝90°知，AD∥BC.

又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形.

故GD＝BC＝3.于是AG＝2.

在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以

BG＝＝2，BF＝＝＝.于是PA＝BF＝.    [10分]

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，

所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.      [12分]

方法二　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立

空间直角坐标系.设PA＝h，

则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,5,0)，E(2,4,0)，P(0,0，h).  [2分]

(1)*　易知＝(－4,2,0)，＝(2,4,0)，＝(0,0，h).

因为·＝－8＋8＋0＝0，·＝0， [4分]

所以CD⊥AE，CD⊥AP.

而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，

所以CD⊥平面PAE.                                     [5分]

(2)由题设和(1)知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量.       [6分]

而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，

所以|cos〈，〉|＝|cos〈，〉|，

即＝.                                               [8分]

由(1)知，＝(－4,2,0)，＝(0,0，－h)，

又＝(4,0，－h)，

故＝.解得h＝.        [10分]

又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，

所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝.    [12分]

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题