已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论...
问题详情:
已知函数f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调*.
(2)*:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
【回答】
【解析】(1)由已知,函数的定义域为(0,+∞),
所以g(x)=f′(x)=2(x-1-lnx-a)
所以g′(x)=2-=,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.
(2)由f′(x)=2(x-1-lnx-a)=0,解得a=x-1-lnx.
令φ(x)=-2xlnx+x2-2x(x-1-lnx)+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx,
则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0.
于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0,
令a0=x0-1-lnx0=u(x0),其中u(x)=x-1-lnx(x≥1),
由u′(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1,
即a0∈(0,1),
当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0,
再由(1)知,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0,
当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0,
又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xlnx>0,
故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.
综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
-
“吃得营养、吃出健康”是人们普遍的饮食追求,下列说法不正确的是A.人每天都应摄入一定量的蛋白质B.过量食用油脂...
问题详情:“吃得营养、吃出健康”是人们普遍的饮食追求,下列说法不正确的是A.人每天都应摄入一定量的蛋白质B.过量食用油脂能使人发胖,故应禁止摄入油脂C.糖类是人体能量的重要来源D.过量摄入微量元素不利于健康【回答】B知识点:各地中考题型:选择题...
-
,飞鸟相与还。 (陶渊明《饮酒·其五》...
问题详情: ,飞鸟相与还。 (陶渊明《饮酒·其五》)【回答】出师未捷身先死知识点:其他题型:填空题...
-
已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=( )A、-4 B、-...
问题详情:已知(1+ɑx)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则ɑ=( )A、-4 B、-3 C、-2 D、-1【回答】D知识点:计数原理题型:选择题...
-
______herprettiness,Liyuchun,oneofthesupergirls,issmart...
问题详情:______herprettiness,Liyuchun,oneofthesupergirls,issmartandnaturalaswell.A Inspiteof B Exceptfor C Butfor D Apartfrom【回答】D知识点:介词题型:选择题...
相关文章
- 已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调*;(2)...
- 已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2...
- 已知函数f(x)=ax-1-lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调*;(2)若函数f(x)在x=1处取...
- 已知函数f(x)=-lnx.(1)讨论函数f(x)的单调*.(2)若对∀x>0,f(x)≥(1-a)x3-恒成...
- 已知函数f(x)=−lnx.(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,*:f(x1)+f(x...
- 已知函数f(x)=ex+ke-x为奇函数,函数g(x)是f(x)的导函数,有下列4个结论:①[f(x)]2-[...
- 设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调*;(2)...
- 设f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,(1)讨论该函数的单调*.(2)设g(a)为函数f(x)的极大值,*...
- 设函数f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函数.(1)求b、c的值;...
- 已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a>0时,求函数f(x...