设f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,(1)讨论该函数的单调*.(2)设g(a)为函数f(x)的极大值,*...
问题详情:
设f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,
(1)讨论该函数的单调*.
(2)设g(a)为函数f(x)的极大值,*:g(a)<2.
【回答】
【解析】(1)因为f(x)=(x2-2x+2-a2)ex,
所以f′(x)=(x-a)(x+a)ex,
①a>0,由f′(x)>0,可得x<-a或x>a,由f′(x)<0,可得-a<x<a;
②a<0,由f′(x)>0,可得x<a或x>-a,由f′(x)<0,可得a<x<-a;
③a=0,函数在R上递增,
综上,a>0,函数的单调递增区间为(-∞,-a),(a,+∞),单调递减区间为(-a,a);a<0,函数的单调递增区间为(-∞,a),(-a,+∞),单调递减区间为(a,-a);a=0,函数的单调递增区间为(-∞,+∞).
(2)由(1)知g(a)=
因为g(-a)==g(a),
所以g(a)是偶函数,
a<0时,g(a)=2(-a+1)ea,g′(a)=-2aea>0,
所以g(a)在(-∞,0)上为增函数,所以g(a)<2,
a>0时,g(a)=g(-a)<2,
综上,g(a)<2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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