已知函数f(x)=x2+2alnx.(1)求函数f(x)的单调区间.(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2...
问题详情:
已知函数f(x)=x2+2alnx.
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
【回答】
【解析】(1)f′(x)=2x+=,函数f(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
②当a<0时,f′(x)=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:
x | (0,) | (,+∞) | |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 递减 | 递增 |
由表格可知,函数f(x)的单调递减区间是(0,).
单调递增区间是(,+∞).
(2)由g(x)=+x2+2alnx得g′(x)=-+2x+,
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=-x2,在[1,2]上h′(x)=--2x
=-<0,
所以h(x)在[1,2]上为减函数,h(x)min=h(2)
=-,所以a≤-.
故实数a的取值范围为{a|a≤-}.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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