设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长...

问题详情：

设点C（x，y）是平面直角坐标系的动点，M（2，0），以C为圆心，CM为半径的圆交y轴于A，B两点，弦AB的长|AB|=4．

（Ⅰ）求点C的轨迹方程；

（Ⅱ）过点F（1，0）作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点P、Q和点K、L．设线段PQ，KL的中点分别为R、T，求*：直线RT恒过一个定点．

【回答】

（Ⅰ）设动点C的坐标为（x，y），由题意得，，

化简得y2=4x，所以抛物线的标准方程为y2=4x．（3分）

（Ⅱ）设P、Q两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则点R的坐标为．

显然直线l1斜率存在且不为0，由题意可设直线l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），

代入椭圆方程得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．（5分）

△=（2k2+4）2﹣4k4=16k2+16＞0，x1+x2=2+，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=．

所以点R的坐标为（1+，）． （6分）

由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点T的坐标为（1+2k2，﹣2k）．

当k≠±1时，有，此时直线RT的斜率． （8分）

所以，直线RT的方程为y+2k=（x﹣1﹣2k2），

整理得yk2+（x﹣3）k﹣y=0，

于是，直线RT恒过定点E（3，0）；（10分）

当k=±1时，直线RT的方程为x=3，也过E（3，0）．

综上所述，直线RT恒过定点E（3，0）（12分）

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题