如图,在平面直角坐标系中,以A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B、C,与y轴的负半轴相交于D.(1...
问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,以A(3,0)为圆心,以5为半径的圆与x轴相交于B、C,与y轴的负半轴相交于D.
(1)若抛物线y=ax2+bx+c经过B、C、D三点,求此抛物线的解析式,并写出抛物线与圆A的另一个交点E的坐标;
(2)若动直线MN(MN∥x轴)从点D开始,以每秒1个长度单位的速度沿y轴的正方向移动,且与线段CD、y轴分别交于M、N两点,动点P同时从点C出发,在线段OC上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动,连接PM,设运动时间为t秒,当t为何值时,的值最大,并求出最大值;
(3)在(2)的条件下,若以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似,求实数t的值.
【回答】
(1)y=x2-x-4,E(6,-4);(2)当t=2时取最大值2;(3)当t=2或t=时,以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似.
【解析】
试题分析:(1)根据点A的坐标和圆的半径可求出点B,点C,和点D的坐标,然后把抛物线的解析式设成两根式,把三点的坐标代入即可求出a的值,把a的值代入解析式化为一般式即可;由抛物线的对称*可知点D和点E关于抛物线的对称轴对称.利用-求出对称轴,利用对称轴和点D的坐标即可得出点E的坐标.
(2)根据路程等于速度乘以时间可得出DN=t,OP=8-2t,然后根据MN∥OC得出比例表示出MN,然后把表示出的MN和OP代入到得到一个关于t的二次函数,当t=-=2时,代入求出此时的最大值.
(3)把相似作为已知的条件来做,角PCM为公共角,所以分两种情况讨论:第一种△PCM∽△OCD,由相似的比例即可求出他的值;第二种情况△MCP∽△OCD,也有相似得比例,根据比例求出他的值.
试题解析:(1)由A(3,0)可知OA=3,又圆的半径为5得OB=2,OC=8,
所以B(-2,0)C(8,0),易得D(0,-4),
设y=a(x+2)(x-8),
从而-4=a(0+2)(0-8),
解得a=,
所以y=(x+2)(x-8),
即y=x2-x-4,
又-=3,点D和点E关于直线x=3对称,
所以E(6,-4);
(2)N(0,t-4),因为MN∥OC,
所以,即MN=2t,
又OP=8-2t,所以
所以当t=2时取最大值2;
(3)若△PCM∽△OCD,
则,即,
解得t=2;
若△MCP∽△OCD,则,
即,
解得t=
即当t=2或t=时,以P、C、M为顶点的三角形与△OCD相似.
考点:二次函数综合题.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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