如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E,F,已知点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).(...
问题详情:
如图,直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E,F,已知点E的坐标为(﹣8,0),点A的坐标为(﹣6,0).
(1)求k的值;
(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点,且在第二象限内运动,试写出△OPA的面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围.
(3)探究:当点P运动到什么位置时,△OPA的面积为,并说明理由.
【回答】
(1)k=;(2)△OPA的面积S=x+18 (﹣8<x<0);(3)点P坐标为(,)或(,)时,三角形OPA的面积为.
【解析】
(1)将点E坐标(﹣8,0)代入直线y=kx+6就可以求出k值,从而求出直线的解析式;
(2)由点A的坐标为(﹣6,0)可以求出OA=6,求△OPA的面积时,可看作以OA为底边,高是P点的纵坐标的绝对值.再根据三角形的面积公式就可以表示出△OPA.从而求出其关系式;根据P点的移动范围就可以求出x的取值范围.
(3)分点P在x轴上方与下方两种情况分别求解即可得.
【详解】
(1)∵直线y=kx+6过点E(﹣8,0),
∴0=﹣8k+6,
k=;
(2)∵点A的坐标为(﹣6,0),
∴OA=6,
∵点P(x,y)是第二象限内的直线上的一个动点,
∴△OPA的面积S=×6×(x+6)=x+18 (﹣8<x<0);
(3)设点P的坐标为(m,n),则有S△AOP=,
即,
解得:n=±,
当n=时,=x+6,解得x=,
此时点P在x轴上方,其坐标为(,);
当n=-时,-=x+6,解得x=,
此时点P在x轴下方,其坐标为(,),
综上,点P坐标为:(,)或(,).
【点睛】
本题考查了待定系数法、三角形的面积、点坐标的求法,熟练掌握待定系数法、正确找出各量间的关系列出函数解析式,分情况进行讨论是解题的关键.
知识点:一次函数
题型:解答题
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