已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点...

问题详情：

已知直线y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（　　）

A．3个；     B．4个；     C．5个；    D．6个

【回答】

A 解：以点B为圆心线段AB长为半径做圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．

令一次函数y=﹣x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；

令一次函数y=﹣x+3中y=0，则﹣x+3，解得：x=，∴点B的坐标为（，0）．

∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），

∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．

令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，则﹣（x﹣）2+4=0，解得：x=﹣，或x=3．

∴点E的坐标为（﹣，0），点F的坐标为（3，0）．

△ABP为等腰三角形分三种情况：

①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；

②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；

③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；

∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选A．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：选择题