如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动...

问题详情：

如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．

（1）t（s）为何值时，点Q在BC上运动，t（s）为何值时，点Q在CD上运动；

（2）求S与t之间的函数关系式；

（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

（4）当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形．

【回答】

【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，

∵DA=DB，AM=BM，

∴DM⊥AB．

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=∠DMB=90°．

∴CE∥DM．

∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME=90°，

∴四边形DCEM是矩形．

∴CE=DM=4，ME=DC=1．

∵AM=BM，AB=8，

∴AM=BM=4．

∴BE=BM﹣ME=3．

∵∠CEB=90°，CE=4，BE=3，

∴CB=5．

∵当t=4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ，

∴t≠4．

∴当0＜t≤5且t≠4（s）时，点Q在BC上运动；当5≤t≤6（s）时，点Q在CD上运动．

（2）①当0＜t＜4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图1，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB=∠CEB=90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴=．

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴=．

∴QF=．

∵PM=AM﹣AP=4﹣t，

∴S=PM•QF

=（4﹣t）•

=﹣t2+．

②当4＜t≤5时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图2，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴∠QFB=∠CEB=90°．

∴QF∥CE．

∴△QFB∽△CEB．

∴=．

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴=．

∴QF=．

∵PM=AP﹣AM=t﹣4，

∴S=PM•QF

=（t﹣4）•

=t2﹣．

③当5＜t≤6时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，

此时QF=DM=4．

∵PM=AP﹣AM=t﹣4，

∴S=PM•QF

=（t﹣4）×4

=2t﹣8．

综上所述：当0＜t＜4时S=﹣t2+；当4＜t≤5时，S=t2﹣；当5＜t≤6时，S=2t﹣8．

（3）①当0＜t＜4时，S=﹣t2+=﹣（t﹣2）2+．

∵﹣＜0，0＜2＜4，

∴当t=2时，S取到最大值，最大值为．

②当4＜t≤5时，S=t2﹣，对称轴为x=2．

∵＞0，

∴当x＞2时，S随着t的增大而增大．

∴当t=5时，S取到最大值，最大值为×52﹣×5=2．

③当5＜t≤6时，S=2t﹣8．

∵2＞0，

∴S随着t的增大而增大．

∴当t=6时，S取到最大值，最大值为2×6﹣8=4．

综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4．

（4）当点Q在CD上运动即5≤t≤6时，如图3，

则有QM≥QF，QP≥QF，即QM≥4，QP≥4．

∵MP=t﹣4＜6﹣4，即MP＜2，

∴QM≠MP，QP≠MP．

若△MPQ是等腰三角形，则QM=QP．

∵QM=QP，QF⊥MP，

∴MF=PF=MP．

∵MF=DQ=5+1﹣t=6﹣t，MP=t﹣4，

∴6﹣t=（t﹣4）．

解得：t=．

∴当t=秒时，△MPQ是等腰三角形．

知识点：相似三角形

题型：综合题