如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是...
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如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)*:MN∥平面C1DE;
(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.
【回答】
(1)见解析;(2).
【分析】
(1)利用三角形中位线和可*得,*得四边形为平行四边形,进而*得,根据线面平行判定定理可*得结论;(2)以菱形对角线交点为原点可建立空间直角坐标系,通过取中点,可*得平面,得到平面的法向量;再通过向量法求得平面的法向量,利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值.
【详解】
(1)连接,
,分别为,中点 为的中位线
且
又为中点,且且
四边形为平行四边形
,又平面,平面
平面
(2)设,
由直四棱柱*质可知:平面
四边形为菱形
则以为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系:
则:,,,D(0,-1,0)
取中点,连接,则
四边形为菱形且 为等边三角形
又平面,平面
平面,即平面
为平面的一个法向量,且
设平面的法向量,又,
,令,则,
二面角的正弦值为:
【点睛】
本题考查线面平行关系的*、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系,从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值,属于常规题型.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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