如图13所示,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=...
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如图13所示,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.
图13
(1)求*:C1M∥平面A1ADD1;
(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.
【回答】
解:(1)*:因为四边形ABCD是等腰梯形,
且AB=2CD,所以AB∥DC,
又M是AB的中点,
所以CD∥MA且CD=MA.
连接AD1.因为在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,
CD∥C1D1,CD=C1D1,
所以C1D1∥MA,C1D1=MA,
所以四边形AMC1D1为平行四边形,
因此,C1M∥D1A.
又C1M⊄平面A1ADD1,D1A⊂平面A1ADD1,
所以C1M∥平面A1ADD1.
(2)方法一:连接AC,MC.
由(1)知,CD∥AM且CD=AM,
所以四边形AMCD为平行四边形,
所以BC=AD=MC.
由题意∠ABC=∠DAB=60°,
所以△MBC为正三角形,
因此AB=2BC=2,CA=,
因此CA⊥CB.
设C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz.
所以A(,0,0),B(0,1,0),D1(0,0,).
因此M,
所以=,==.
设平面C1D1M的一个法向量n=(x,y,z),
由得
可得平面C1D1M的一个法向量n=(1,,1).
又=(0,0,)为平面ABCD的一个法向量.
因此cos〈,n〉==,
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
方法二:由(1)知,平面D1C1M∩平面ABCD=AB,点过C向AB引垂线交AB于点N,连接D1N.
由CD1⊥平面ABCD,可得D1N⊥AB,
因此∠D1NC为二面角C1 AB C的平面角.
在Rt△BNC中,BC=1,∠NBC=60°,
可得CN=,
所以ND1==.
在Rt△D1CN中,cos∠D1NC===,
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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