如图15,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且A...
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如图15,四棱柱ABCD A1B1C1D1中,A1A⊥底面ABCD,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC.过A1,C,D三点的平面记为α,BB1与α的交点为Q.
图15
(1)*:Q为BB1的中点;
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比;
(3)若AA1=4,CD=2,梯形ABCD的面积为6,求平面α与底面ABCD所成二面角的大小.
【回答】
解: (1)*:因为BQ∥AA1,BC∥AD,
BC∩BQ=B,AD∩AA1=A,
所以平面QBC∥平面A1AD,
从而平面A1CD与这两个平面的交线相互平行,
即QC∥A1D.
故△QBC与△A1AD的对应边相互平行,
于是△QBC∽△A1AD,
所以===,即Q为BB1的中点.
(2)如图1所示,连接QA,QD.设AA1=h,梯形ABCD 的高为d,四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下,BC=a,则AD=2a.
图1
V三棱锥Q A1AD=×·2a·h·d=ahd,
V四棱锥Q ABCD=··d·=ahd,
所以V下=V三棱锥Q A1AD+V四棱锥Q ABCD=ahd.
又V四棱柱A1B1C1D1 ABCD=ahd,
所以V上=V四棱柱A1B1C1D1 ABCD-V下=ahd-ahd=ahd,故=.
(3)方法一:如图1所示,在△ADC中,作AE⊥DC,垂足为E,连接A1E.
又DE⊥AA1,且AA1∩AE=A,
所以DE⊥平面AEA1,所以DE⊥A1E.
所以∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角.
因为BC∥AD,AD=2BC,所以S△ADC=2S△BCA.
又因为梯形ABCD的面积为6,DC=2,
所以S△ADC=4,AE=4.
于是tan∠AEA1==1,∠AEA1=.
故平面α与底面ABCD所成二面角的大小为.
方法二:如图2所示,以D为原点,DA,分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系.
设∠CDA=θ,BC=a,则AD=2a.
因为S四边形ABCD=·2sin θ=6,
所以a=.
图2
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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