如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点...

问题详情：

如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．

（1）*：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．

【回答】

（1）*见解析；（2）.

【分析】

（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可*，要*平面平面，只需*平面即可；

（2）根据已知条件求得和到的距离，根据椎体体积公式，即可求得.

【详解】

（1）分别为，的中点，

又

在等边中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）过作垂线，交点为，

画出图形，如图

平面

平面，平面平面

又

为的中心.

故：，则，

平面平面，平面平面，

平面

平面

又在等边中

即

由（1）知，四边形为梯形

四边形的面积为：

，

为到的距离，

.

【点睛】

本题主要考查了*线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求*线面垂直的*法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.

知识点：空间几何体

题型：解答题