如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别...
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M、N分别是A1B1,A1A的中点,
(1)求的模;
(2)求cos〈,〉的值;
(3)求*:A1B⊥C1M;
(4)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.
【回答】
如图,建立空间直角坐标系Cxyz.
(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1),
∴||==.
(2)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2)
∴=(1,-1,2),=(0,1,2),∴·=3,
||=,||=,∴cos〈,〉
==.
(3)依题意,得C1(0,0,2)、M(,,2),=(-1,1,-2),=(,,0),∴·=-++0=0,∴⊥,∴A1B⊥C1M.
(4)方法一:取AB中点O,连结CO,B1O,则CO⊥平面A1ABB1,
∴∠CB1O是CB1与平面A1ABB1所成的角.
∵CO=AB=,B1C==,
∴B1O====,
∴cos∠CB1O==×=.
即CB1与平面A1ABB1所成角的余弦值是.
方法二:设平面A1ABB1的一个法向量是n=(x,y,z),
∵=(1,-1,0),=(0,0,2),
解得,取x=y=1,则n=(1,1,0),
直线CB1的方向向量是n1=(0,1,2),
∴cos〈n,n1〉===,
∴sin〈n,n1〉==,
∴直线CB1与平面A1ABB1所成角的余弦值是.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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