如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90...

问题详情：

如图，在三棱锥S－ABC中，SC⊥平面ABC，点P、M分别是SC和SB的中点，设PM＝AC＝1，∠ACB＝90°，直线AM与直线SC所成的角为60°.

(1)求*：平面MAP⊥平面SAC；

(2)求二面角M－AC－B的平面角的正切值．

                       

【回答】

(1)*　∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，

又∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AC∩SC＝C，∴BC⊥平面SAC.

又∵P，M是SC，SB的中点，∴PM∥BC，∴PM⊥平面SAC，

∵PM⊂平面MAP，∴平面MAP⊥平面SAC.

(2)解　∵AC⊥平面SBC，∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M－AC－B的平面角．

∵直线AM与直线PC所成的角为60°，∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，

则∠AMN＝60°，在△CAN中，由勾股定理得AN＝.

在Rt△AMN中，MN＝＝·＝.   在Rt△CNM中，tan∠MCN＝＝，

故二面角M－AC－B的正切值为.

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题