二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(1,﹣4a),点A(4,y1)是该抛物线...
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(1,﹣4a),点A(4,y1)是该抛物线上一点,若点D(x2,y2)是抛物线上任意一点,有下列结论:①4a﹣2b+c>0;②若y2>y1,则x2>4;③若0≤x2≤4,则0≤y2≤5a;④若方程a(x+1)(x﹣3)=﹣1有两个实数根x1和x2,且x1<x2,则﹣1<x1<x2<3.其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
B
【分析】
根据顶点坐标得到对称轴表达式,根据二次函数的对称*,得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称,即可判断①; 结合①中结论,根据函数图像即可判断②; 首先根据对称轴得到a和b的关系,然后根据顶点坐标得到a和c的关系,求出当x=4时,y的值即可判断③; 根据二次函数与一元二次方程的关系,得到a(x+1)(x﹣3)=0的解,而a(x+1)(x﹣3)=﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点,即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时,新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)=﹣1的解,可判断④.
【详解】
①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为
∴函数的对称轴为x=
∴根据二次函数的对称*,当x=-2和x=4时,y的值相等
∴当x=-2时,y=4a﹣2b+c>0
于是①的结论正确;
②∵点A(4,y1)关于直线x=1的对称点为
∴当y2>y1,则x2>4或x2<﹣2,
于是②错误;
③当x=4时,y1=16a+4b+c=16a﹣8a﹣3c=5a,
∴当﹣1≤x2≤4,则﹣3a≤y2≤5a,
于是③错误;
④∵方程有两个实数根x1和x2,且x1<x2,
∴抛物线与直线y=﹣1交点的坐标和
∵抛物线时,x=﹣1或3,
即抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(﹣1,0)和(3,0),
∴﹣1<x1<x2<3,
于是④正确.
故选:B.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合知识,二次函数和一元二次方程,二次函数和不等式,题目综合*较强,熟练掌握二次函数的基本知识并灵活运用是本题的关键.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:选择题
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