如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线...

问题详情：

如图，抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一个交点为B.

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．

【回答】

解：(1)设抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋1.

∵抛物线经过原点(0，0)，代入，得a＝－.

∴y＝－(x－2)2＋1.

(2)设点M(a，b)，S△AOB＝×4×1＝2.

则S△MOB＝6，∴点M必在x轴下方．

∴×4×|b|＝6.∴b＝－3.

将y＝－3代入y＝－(x－2)2＋1中，得

x＝－2或6.

∴点M的坐标为(－2，－3)或(6，－3)．

(3)存在．∵△OBN相似于△OAB，

相似比OA∶OB＝∶4，

∴S△AOB∶S△OBN＝5∶16.

而S△AOB＝2.∴S△OBN＝.

设点N(m，n)，点N在x轴下方．

S△OBN＝×4×|n|＝.n＝－.

将其代入抛物线表达式，求得横坐标为2±，

∴存在点N，使△OBN与△OAB相似，点N的坐标为(2±，－)．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题